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第四章  曲线运动  万有引力 第3课时　圆周运动

考纲解读 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．

考点梳理

一、描述圆周运动的物理量

1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝Δt(Δs)＝T(2πr).

2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝Δt(Δθ)＝T(2π).

3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝v(2πr)，T＝f(1).

4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a_n＝rω²＝r(v2)＝ωv＝T2(4π2)r.

5．向心力：作用效果产生向心加速度，F_n＝ma_n.

6．相互关系：(1)v＝ωr＝T(2π)r＝2πrf.

(2)a＝r(v2)＝rω²＝ωv＝T2(4π2)r＝4π²f²r.

(3)F_n＝ma_n＝mr(v2)＝mω²r＝mrT2(4π2)＝mr4π²f².

二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动

1．匀速圆周运动

(1)定义：线速度大小不变的圆周运动 .

(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．

(3)质点做匀速圆周运动的条件

合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．

2．非匀速圆周运动

(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动．

(2)合力的作用

①合力沿速度方向的分量F_t产生切向加速度，F_t＝ma_t，它只改变速度的方向．

②合力沿半径方向的分量F_n产生向心加速度，F_n＝ma_n，它只改变速度的大小．

三、离心运动

1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．

2．受力特点(如图2所示)

(1)当F＝mrω²时，物体做匀速圆周运动；

(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；

(3)当F<mrω²时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．

(4)当F>mrω²时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．

方法提炼

1．轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即mg＝mr(v2)，则v＝，v<时，物体不能到达最高点．

2．轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支撑力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度v≥0.

例1　如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 (　　)

A．a、b和c三点的线速度大小相等

B．b、c两点的线速度始终相同

C．b、c两点的角速度比a点的大

D．b、c两点的加速度比a点的大

例 2　如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′

转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点

的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：

(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支撑力的大小； 

(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．

例3　如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动．  

(1)当v₁＝ 6(gl)时，求线对小球的拉力；

(2)当v₂＝ 2(3gl)时，求线对小球的拉力．

 例4　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)

A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B．小球过最高点的最小速度是

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

     课后练习

1．(2012·广东·17)图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有 (　　)

A．N小于滑块重力   B．N大于滑块重力

C．N越大表明h越大   D．N越大表明h越小

2．(2012·福建理综·20)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s².求：

(1)物块做平抛运动的初速度大小v₀；

(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.

3．如图所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道 最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是 (　　)

A．轨道对小球不做功，小球通过P点的角速度小于通过Q点的角 速度

B．轨道对小球做正功，小球通过P点的线速度大于通过Q点的线速度

C．小球通过P点时的向心加速度大于通过Q点时的向心加速度

D．小球通过P点时对轨道的压力大于通过Q点时对轨道的压力

4．在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与质量为m的小球连接，如图所示．当小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v₁时，弹簧的

长度为1.5l；当它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v₂ 

时，弹簧的长度为2.0l.求v₁与v₂的比值．

5．关于匀速圆周运动的说法，正确的是 (　　)

A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度

B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度

C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动

D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动

6．一对男女溜冰运动员质量分别为m_男＝80 kg和m_女＝40 kg，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，则两人 (　　)

A．速度大小相同约为40 m/s  

B．运动半径分别为r_男＝0.3 m和r_女＝0.6 m

C．角速度相同为6 rad/s

D．运动速率之比为v_男∶v_女＝2∶1

7．如图所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，已知该皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的轮数最少是(　　)

A.2π(1) r(g)   B. r(g)

C.   D.2π(1)

8．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于

(　　)

A. L(gRh)   B. d(gRh)

C. h(gRL)   D. h(gRd)

9．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图6所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为 (　　)

A．mR(v2) B．mg

C．m R2(v4)               D．m R4(v2)

10．如图8所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内．A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部压力为0.75mg，求A、B两球落地点间的距离．